4. Ünite: Sembolik (Modern) Mantık

4. Ünite: Sembolik (Modern) Mantık

Sembolik Mantık, çıkarımları sembolik bir dille denetlemek için geliştirilen mantıktır. Klasik Mantık M.Ö. 4. yüzyılda ilk olarak Aristoteles tarafından ortaya konulan ve yüzyıllar (hatta binyıllar) içinde bir değişikliğe uğramadan gelen bir mantıktır. 19. yüzyılın sonlarına gelindiğinde ise başta Matematik ve Fizik olmak üzere bilimsel alandaki gelişmeler niteliksel/kavramsal bir mantık olan Klasik Mantığın yetmemesine ve daha kesin sonuçlar verecek, ifadeleri sembolleştirerek denetlemeler yapmaya imkan verecek yeni bir mantık arayışına yol açmıştır.

Sembolik mantık günlük dildeki önermeleri semboller yardımıyla çok anlamlılığa ve belirsizliğe yer vermeden denetleyebilmeyi sağlar.

I. Önerme Eklemleri Mantığı

Önerme Eklemleri Mantığı, Niceleme Mantığı ile birlikte Sembolik Mantık’ın iki temel dalından/konusundan birisidir. Önerme Eklemleri Mantığı başlığı altında önerme eklemleri ve önerme eklemleri ile tutarlılık ve geçerlilik denetlemeleri gibi konular yer almaktadır. Aşağıda Önerme Eklemleri Mantığı testiyle başladık, eklenen sorularla ve konu anlatımıyla sayfa zenginleşecek…

Önerme eklemleri mantığı bir bileşik önermeler mantığıdır.

Ahmet İstanbul’a gitti. (p) (Basit önerme)

Mehmet İstanbul’a gitti. (q) (Basit önerme)

Ahmet ve Mehmet İstanbul’a gitti. (p Λ q) (Bileşik önerme)

Önermeler mantığında kullanılan temel önerme eklemleri ve sembolleri şunlardır:

1. ~ “değil”
2. Λ “ve”
3. V “veya”
4. ⇒ “ise”
5. ⇔ “ancak ve ancak”

1. ~“değil” eklemi ve doğruluk fonksiyonu:

• Değilleme eklemi, bir önermenin taşıdığı doğruluk değerini tersine çevirir. Yani, doğru bir önermenin değillemesi yanlış, yanlış bir önermenin değillemesi doğrudur.
• Bir önermenin değillemesinin değillemesi ise, o önermenin başlangıçtaki doğruluk değerinin aynısıdır. Yani doğru bir önermenin değillemesinin değillemesi yine doğrudur. Buna “çifte değilleme kuralı” denir.

• Değilleme eklemi (“~“) Türkçede “değil”, “yoktur” gibi ifadelerle; sözcüklerin sonuna gelerek yine bu ifadelerle aynı anlamı bildiren “–maz”, “–mez” gibi olumsuzluk eklerinin sembolik karşılığıdır.
• Değilleme eklemi, diğer önerme eklemleri arasında tek bileşeni olan tek eklemdir.

Doğruluk Fonksiyonu Tablosu:

2.  Λ  “ve” Tümel Evetleme Eklemi:

Tümel evetleme ekleminin yer aldığı bir önermenin doğru olabilmesi için, bu önermenin tüm bileşenlerinin doğru olması gerekir. Bir tümel evetleme önermesinin bileşenlerinden bir tanesi bile yanlış olursa, bu önerme tümüyle yanlış kabul edilir.

Doğruluk Fonksiyonu Tablosu:

Tümel evetleme eklemi günlük dildeki “ve”, “hem…hem”, “gerek…gerekse”, “ile”, “de…de”, “da…da”, “ama” gibi bağlaçlarla, virgülün (,) sembolik karşılığıdır.

Örnek:

• Ağaçlar hem yarar sağlarlar hem de göze hoş gözükürler.
• Ahmet de Ali de yola gidecek.
• Ankara ile İzmir, Türkiye’nin büyük şehirlerindendir.
• Sanat ve bilim insana yeni ufuklar açar.
• Edebiyat, tarih, felsefe dersleri de fizik, kimya, biyoloji dersleri gibi önemlidir.

3.  V “veya” Tikel Evetleme Eklemi:

Tikel evetleme ekleminin yer aldığı bir önermenin doğru olabilmesi için, bu önermenin bileşenlerinden en az birinin doğru olması gerekli ve yeterlidir. Bir tikel evetleme önermesi yalnızca bileşenlerinin tümünün yanlış olması durumunda yanlış olur.

Doğruluk Fonksiyonu Tablosu:

Tikel evetleme eklemi günlük dildeki “veya”, “ya da”, “yahut”, gibi bağlaçların sembolik karşılığıdır.

Örneğin:

• Bugün yağmur veya dolu yağacak.
• Ali otobüsle ya da trenle gelecek.
• Sabah yahut akşamları hava serinler.
• Her gün buradan eskici veyahut işportacı geçer.

4.  ⇒ “ise” Koşul Eklemi:

Koşul ekleminin yer aldığı bir önerme, birinci (ön) bileşenin doğru, ikinci (art) bileşenin yanlış olduğu durumda yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur.

Doğruluk Fonksiyonu Tablosu:

Koşul eklemi günlük dildeki “ise”, “yeter ki”, “eğer…ise” gibi ifadelerin sembolik karşılığıdır.

Örneğin:

• Kar yağmışsa kış gelmiş demektir.
• Bahar gelince çiçekler açar.
• Eğer çalışırsan kazanırsın.
• Söylediklerimi anlarsınız, yeter ki beni dinleyin.

5.  ⇔ “ancak ve ancak” Karşılıklı Koşul Eklemi:

• Karşılıklı koşul ekleminin yer aldığı bir önerme bileşenlerinden her birinin aynı doğruluk değerini aldığında doğru, farklı doğruluk değerini aldığında yanlıştır. Bir karşılıklı koşullu önermede bileşenlerden biri diğerini gerektirir.

Doğruluk Fonksiyonu Tablosu:

Karşılıklı koşul eklemi günlük dildeki “ancak ve ancak”, “gerekli ve yeterli koşul” gibi ifadelerin sembolik karşılığıdır.

Örneğin:

• Ahmet, ancak ve ancak Mehmet gelirse gelir.
• Karın yağması için gerekli ve yeterli koşul kışın gelmesidir.

Doğruluk Fonksiyonu Tablosu

Önerme Eklemleri Doğruluk Fonksiyonu Tablosu

Ana Eklem ve Ana Bileşen

Bir bileşik önermede, önermenin asıl doğruluk fonksiyonunu belirleyen ekleme ana eklem, ana eklemin bir araya getirdiği asıl önermeye ya da önermelere de ana bileşen denir.

Bir önerme, hangi eklemle anılıyorsa, o önermenin ana eklemi odur. Örnek: (p Λ q) → (q ↔  p) gibi bir koşullu önermenin ana eklemi “→” eklemidir.

Örnekler:

Dikkat: ~ Değil’in tek ana bileşeni olur.

Çözümleyici Çizelge ve Çözümleyici Çizelge ile Denetlemeler

Doğruluk tablosuyla önerme veya çıkarımların geçerlilik, önermelerin tutarlılık veya eşdeğerlini
denetlemek çoğu zaman pratik olmayabilir. İç yapısı göz önünde tutulmayan önerme sayısı ve bileşik
önermeler arttıkça tablodaki satır ve sütun sayılan artacağından denetleme zorlaşır, karışıklığa yol
açabilir.

Oysa çözümleyici çizelge (veya diğer adıyla ağaç yöntemi) ile çok sayıda önermeleri kolaylıkla, daha
kısa,güvenilir ve kesin biçimde denetlemek mümkündür. Bu yolla denetleme yüklemler mantığına da uygulanabilir.

Çözümleyici çizelge :

Verilen bir ya da birden fazla önermenin doğrulayıcı yorumlaması olup olmadığını ortaya koymak için, önermelerin adım adım bileşenlerine ayrılmasını – çözümlenişini – gösteren çizelgedir.

Çözümleyici Çizelgenin Uygulanışı:

1) Denetlenecek önermelerin TUTARLI olduğu öncelikle kabul edilir. Bunu sağlayacak doğruluk değerleri ilkelerine göre çözümleme yapılır.

2) Denetlenmek üzere verilen önermelere BAŞLANGIÇ ÖNERMELERİ denir. Bunlar alt alta yazılır.

3) Çözümleme kurallarına göre, çözümlemenin kaçıncı adımda -sırada-yapıldığı çözümlenen önermenin önüne yazılan ADIM NUMARASI ile belirtilir. Çözümleme sırasında, çözümlenen önermelerin nereden çözümlenerek geldiğini/kaynağını gösteren KAYNAK NUMARASI yazılır.

4) Başlangıç önermeleriyle başlayan, çözümlenerek alt alta yazılan önerme dizilerine YOL denir.

5) Bu yolların herhangi birinde (yukarıya doğru) birbirinin DEĞİLLEMESİ olan önerme çifti arasında (p, ~p gibi) ÇELİŞME vardır. Çelişik önermeler aynı yorumda doğru olamayacağından; tutarsızdırlar. Aralarında çelişme bulunan, tutarsız olan bu önermelerin oluşturduğu yola KAPALI yol denir. Kapalı yol doğru /tutarlı yorumlamaya kapalıdır. Kapalı yolun sonu (X) ile kapatılır. Bu yolda artık çözümleme yapılamaz, aynı yolda artık işlem devam etmez. Çelişmesiz önermelerden oluşan yola AÇIK YOL denir. Açık yol doğrulayıcı -tutarlı – yorumlamaya açık demektir.

Sembolik Mantıkta Eşdeğerlik Kuralları (De Morgan Kuralları)

1. p ≡ ~~ p
2. p Λ q ≡ q Λ p
3. p ∨ q ≡ q ∨ p
4. ~ (p Λ q) ≡ ~p ∨ ~q
5. ~ (p ∨ q) ≡ ~p Λ ~q
6. p ⇒ q ≡ ~p ∨ q
7. ~ (p ⇒ q) ≡ p Λ ~q
8. p ⇔ q ≡ (p Λ q) ∨ ( ~p Λ ~q)
9. ~ (p ⇔ q) ≡ (p Λ ~q) ∨ ( ~p Λ q)
10. p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~ p

6) TEMEL ÇÖZÜMLEME kuralları, TÜMEL EVETLEME ve TİKEL EVETLEME önermelerinin çözümleniş kurallarına göredir. (p, ~p) gibi çözümlenemeyen önermeler dışındaki bütün bileşik önermeler ya TÜMEL ya da TİKEL EVETLEME’nin çözümleme ilkelerine göre çözümlenir.

7) TÜMEL EVETLEMENİN çözümleme biçimi ALT ALATA YAZMA; TİKEL EVETLEMENİN ise ÇATAL AÇMA (dallara ayırma) biçimindedir. Tümel evetleme ve tikel evetleme önermeleri dışında kalan çözümlenebilir bütün önermeler eşdeğerliklerden yararlanarak geliştirilmiş TÜRETİLMİŞ ÇÖZÜMLEME KURALLARI’na göre çözümlenir.

8) Önerme Eklemleri ve Yüklemler mantığında yapılacak bütün çözülme işlemleri şu sırayı izlemelidir:

(1) Niceleyici değillemesi

(2) Alt alta çözümleme

(3) Tikel özelleme

(4) Çatal açarak çözümleme

(5) Tümel özelleme

* Genel olarak; ALT ALTA yazarak çözümlemenin ÖNCELİK SIRASI vardır; öncelikle alt alta yazma kuralı uygulanmalıdır.
** ANA EKLEMİ olan kalıplarda önce ana ekleme, sonra diğer eklemlere göre çözümleme yapılır.

Çözümleyici çizelgeyle yapılan denetleme sonunda;

1- açık yol bulunan önermeler TUTARLIdır.

2- bütün yolları kapalı olan önermeler TUTARSIZDIR.

3- değillemesi tutarsız olan (~Ö) önerme GEÇERLİdir.

Bir önermenin çizelgeyle geçerlilik denetlemesi yapılırken: verilen önerme değillenir gerekli işlemler sırasıyla yapılır çözümleme sonunda bütün yollar kapalı ise önerme GEÇERLİDİR. Başka bir ifadeyle değillemesi tutarlı olmayan, yani çözümleme sonunda açık yolu bulunan önerme geçersizdir.

4- İki önermenin EŞDEĞERLİĞİNİ denetlemek için karşılıklı koşullusunun değillemesinden yararlanılır. Denetleme sonunda bütün yollar kapalı ise, yani karşılıklı koşullusunun değili geçerli ise verilen iki önerme EŞDEĞERDİR.

5- Sonucu değillenen ÇIKARIMIN denetleme sonunda  TUTARSIZ olması gerekir. Öncüller alt alta yazılır, sonuç değillenir (~Sn.), çözümleme kuralları  uygulanır. Çözümleme sonunda bütün yollar kapalı ise çıkarım GEÇERLİDİR.

Önerme Eklemleri Mantığında: Denetlemeler

1. Tutarlılık Denetlemesi

a) Tek Önermenin Tutarlılığı:

En az bir doğrulayıcı yorumu olan önermelere tutarlı, hiçbir doğrulayıcı yorumu olmayan önermelere de tutarsız denir. Buna göre, bir önerme yalnızca, tüm yorumları yanlış olduğunda tutarsızdır.

Örnek: (p ⇒ q) V (q Λ p)

1., 3. ve 4. satırlarda doğrulayıcı (D) yorumu olduğu için TUTARLIDIR.

b) Önermelerin Birlikte Tutarlılığı:

Önermenin en az ortak doğrulayıcı bir yorumu varsa birlikte tutarlıdır.

Örnek: (p Λ q), (p V q), (p ⇒ q) önermeleri birlikte tutarlı mıdır?

1. satırda ortak doğrulayıcı (D) bir yorumları olduğu için üç önerme BİRLİKTE TUTARLIDIR.

2. Geçerlilik Denetlemesi

Bir önermenin geçerli olması, bu önermenin her yorumlamada doğru olması demektir. Bir tek yanlışlayıcı yorumlaması olan önermeler geçersizdir.

Örnek: (~ p V q) ⇔ (p ⇒ q) önermesinin geçerlilik denetlemesini yapalım.

Tüm yorumları doğru olduğu için GEÇERLİDİR.

Bir tek yanlışlayıcı yorumlaması olan önermeler geçersizdir.

Örnek: (p ⇒ ~ q) V (~ p Λ q) önermesinin geçerlilik denetlemesini yapalım.

Bir tane -1.satırda- yanlış (Y) yorumu olduğu için GEÇERSİZDİR.

Tutarlılık ve geçerlilik ile ilgili bilgiler:

• Tüm geçerli önermeler aynı zamanda tutarlıdır.
• Her tutarlı önerme geçerli değildir.
• Geçersiz önermelerin bazıları tutarlı, bazıları tutarsızdır.
• Tüm tutarsız önermeler aynı zamanda geçersizdir.
• Tüm tutarsız önermelerin değillemeleri geçerlidir.

3. Eşdeğerlik Denetlemesi

Tüm yorumlarında hep aynı doğruluk değerini alan önermelere eşdeğer önermeler denir. Önermelerin her yorumlamada aynı doğruluk değerini almaları demek, önermelerden biri, bir yorumlamada doğru iken diğerinin de doğru, biri yanlış iken diğerinin de yanlış olması demektir. Eşdeğerlik, sembolik mantıkta “ ≡ ” sembolü ile gösterilir.

Örnek: (~ p Λ q) önermesi ile (p ⇒ ~ q) önermesinin eşdeğerlik denetlemesini yapalım.

Bu iki önerme EŞDEĞER DEĞİLDİR.

Örnek: (p Λ q) V (~ p Λ ~ q) önermesi ile (p ⇔ q) önermesinin eşdeğerlik denetlemesini yapalım.

Bu iki önerme EŞDEĞERDİR.

II. Niceleme (Yüklemler) Mantığı

Niceleme (Yüklemler) Mantığında Sembolleştirme

Niceleme (Yüklemler) Mantığında Önermelerin Sembolleştirilmesi

Önerme eklemleri mantığında “Ali çalışkandır.” gibi bir önerme “p” gibi tek bir sembol ile gösterilir.

“Ali çalışkandır.”  →  p

Niceleme (yüklemler) mantığında ise “Ali çalışkandır.” önermesinin özne ve yüklemi ayrı sembollerle gösterilir.

“Ali çalışkandır.”  →  Fa

F – Yüklem sembolü

a – Ad sembolü

* Öznenin sonra, yüklemin önce yazılışına dikkat!

“Ali çalışkandır.” önermesi aF değil, Fa ile gösteriliyor.

Önerme yüklemi tek bir özneye aitse 1’li yüklem, iki özneye aitse 2’li yüklem, üç özneye aitse 3’lü yüklem (n sayıdaki özneye aitse n’li yüklem) adını alır.

Örnek: Tuğba (a) ve Emre (b) kardeştir (F). → Fab (2’li yüklem)

Niceleme (Yüklemler) Mantığında Çıkarımların Sembolleştirilmesi

Hava (a) karlı (F) ise kartopu (b) oynayacağım (G). (Fa ⇒ Gb)

Hava karlıdır. (Fa)

__________________

O halde kartopu oynayacağım.  (Gb)

Çıkarımın sembolik hali: Fa ⇒ Gb, Fa  ∴  Gb

Yüklemler Mantığında Önerme çeşitleri:

Tekil önerme:

İçinde herhangi bir niceleyici (∀, ∃) bulunmayan önermelere tekil önerme denir. Tekil önermeler yüklemler mantığında p, q, r, Fa gibi sembollerle gösterilir.

Genel Önerme:

İçinde herhangi bir niceleyici (∀, ∃) bulunan önermelere genel önerme denir.

Örneğin:  ∀x (Fx Λ Gx), ∃x (Gx V Hx) önermeleri genel önermelerdir.

Niceleyiciler

∀ → Her (Tümel Niceleyici)

∃ → Bazı (Tikel Niceleyici)

Örnek:

“Tüm x’ler Temel Yeterlilik Testine girecek.” (∀xFx)

“Bazı x’ler Alan Yeterlilik Testine girecek.” (∃xGx)

X değişkeninin alabileceği öğeler/değerler kümesi:

E={Kübra, Oya, Bekir, Furkan}

Yüklemler Mantığında Değişken, Açık Önerme, Kapalı Önerme

• Önermelerde belirsiz olan özneyi göstermek için kullanılan x,y,z gibi sembollere değişken denir.

– Öznenin yerini tutan değişkenlere ad değişkeni;

– Yüklemin yerini tutan değişkenlere ise yüklem değişkeni denir.

• Yapısında bir değişken bulunan önermelere açık önerme denir.
• Yapısında hiçbir değişken bulunmayan önermeler kapalı önerme adını alır.

Açık önerme gerçek anlamda bir önerme değildir. Neden?

Çünkü bir doğruluk değeri yoktur. Önermenin tanımını hatırlayın: Yargı bildiren ve bir doğruluk değerine sahip olan cümlelerdir. Ancak Açık Önerme, bir doğruluk değerine henüz sahip değildir; ancak özelleme dediğimiz işlemden sonra (kapalı) önermeye dönüşür.

Özelleme

Açık Önermeler özelleme yoluyla kapalı önermeye dönüştürülür.

Özelleme: Açık önermedeki X’in yerine verilen evrendeki (kümedeki) varlıkların (veya değerlerin) konulmasıdır.

Bir açık önermeyi kapalı önerme haline getirmek için kullandığımız (kullanabileceğimiz) tüm değerler kümesine evren denir. Özelleme, bu evrendeki bir ögenin değişkenin yerine konulması yoluyla yapılır.

Şimdi: Açık önermeler henüz bir doğruluk değeri bulunmayan, dolayısıyla sözde önermeler olduğuna göre; açık önermeyi özelleme yoluyla gerçek anlamda bir (kapalı) önerme haline getireceğiz. Sonuçta bir doğruluk değeri kazanacak. Bu da önermenin tikel veya tümel olmasına göre değişir. Görelim:

Tümel önermenin özellemesinin doğruluk şartı:

Bir tümel niceleme önermesinin doğru olabilmesi için, verilen evrendeki tüm elemanlar tarafından doğrulanmış olması gerekir.

Örnek:

“Tüm x’ler bitkidir.”  (∀xFx)

E= {Papatya, Gül, Menekşe} evrenindeki tüm elemanlar tarafından doğrulanır. (∀xFx) önermesi bu evrende(kümede) doğrudur.

E= {Papatya, Gül, Bardak} evreninde yanlıştır.

Sembolik gösterimi ve açılımı:

(∀xFx)

∀x(FaΛFbΛFc)

Tikel önermenin özellemesinin doğruluk şartı:

Bir tikel niceleme önermesinin doğru olabilmesi için, verilen evrendeki en az bir eleman tarafından doğrulanmış olması gerekir.

Örnek:

“Bazı x’ler bitkidir.”  (∃xFx)

E= {Demir, Bardak, Tuğçe} evrenindeki hiçbir eleman tarafından doğrulanmadığı için (∃xFx) önermesi bu evrende yanlıştır.

Örnek:

E= {Papatya, Kanepe, Izgara} evreninde doğrudur, çünkü bitki olan en az bir elemanı (papatya) vardır.

Sembolik gösterimi ve açılımı:

(∃xFx) özellemesi: ∃x(FaVFbVFc)

Yüklemler Mantığında Eşdeğerlik Kuralları

Niceleyici Değilleme Kuralları

–  Tümel Niceleyicinin Değillemesi

~ ∀x Fx ≡ ∃x ~ Fx

~ ∀x ~ Fx ≡ ∃x Fx

–  Tikel Niceleyicinin Değillemesi

~ ∃x Fx ≡ ∀x ~ Fx

~ ∃x ~Fx ≡ ∀x Fx

Açık Lise sınavlarına hazırlanmanın en kolay hali: AçıkTercih AÖL Test Çöz!

Mobil Uygulamamızı İNDİRİN! AÖL Yeni Müfredat Çıkmış Sınav Sorularını Çözün!