5. Ünite: Niceleme (Yüklemler) Mantığı

5. Ünite: Niceleme (Yüklemler) Mantığı

Niceleme (Yüklemler) Mantığında Sembolleştirme

Niceleme (Yüklemler) Mantığında Önermelerin Sembolleştirilmesi

Önerme eklemleri mantığında “Ali çalışkandır.” gibi bir önerme “p” gibi tek bir sembol ile gösterilir.

“Ali çalışkandır.”  →  p

Niceleme (yüklemler) mantığında ise “Ali çalışkandır.” önermesinin özne ve yüklemi ayrı sembollerle gösterilir.

“Ali çalışkandır.”  →  Fa

F – Yüklem sembolü

a – Ad sembolü

* Öznenin sonra, yüklemin önce yazılışına dikkat!

“Ali çalışkandır.” önermesi aF değil, Fa ile gösteriliyor.

Örnek:

Önerme yüklemi tek bir özneye aitse 1’li yüklem, iki özneye aitse 2’li yüklem, üç özneye aitse 3’lü yüklem (n sayıdaki özneye aitse n’li yüklem) adını alır.

Örnek: Tuğba (a) ve Emre (b) kardeştir (F). → Fab (2’li yüklem)

Niceleme (Yüklemler) Mantığında Çıkarımların Sembolleştirilmesi

Hava (a) karlı (F) ise kartopu (b) oynayacağım (G). (Fa ⇒ Gb)

Hava karlıdır. (Fa)

__________________

O halde kartopu oynayacağım.  (Gb)

Çıkarımın sembolik hali: Fa ⇒ Gb, Fa  ∴  Gb

Yüklemler Mantığında Önerme çeşitleri:

Tekil önerme:

İçinde herhangi bir niceleyici (∀, ∃) bulunmayan önermelere tekil önerme denir. Tekil önermeler yüklemler mantığında p, q, r, Fa gibi sembollerle gösterilir.

Genel Önerme:

İçinde herhangi bir niceleyici (∀, ∃) bulunan önermelere genel önerme denir.

Örneğin:  ∀x (Fx Λ Gx), ∃x (Gx V Hx) önermeleri genel önermelerdir.

Niceleyiciler

∀ → Her (Tümel Niceleyici)

∃ → Bazı (Tikel Niceleyici)

Örnek:

“Tüm x’ler Temel Yeterlilik Testine girecek.” (∀xFx)

“Bazı x’ler Alan Yeterlilik Testine girecek.” (∃xGx)

X değişkeninin alabileceği öğeler/değerler kümesi:

E={Kübra, Oya, Bekir, Furkan}

Yüklemler Mantığında Değişken, Açık Önerme, Kapalı Önerme

• Önermelerde belirsiz olan özneyi göstermek için kullanılan x,y,z gibi sembollere değişken denir.

– Öznenin yerini tutan değişkenlere ad değişkeni;

– Yüklemin yerini tutan değişkenlere ise yüklem değişkeni denir.

• Yapısında bir değişken bulunan önermelere açık önerme denir.
• Yapısında hiçbir değişken bulunmayan önermeler kapalı önerme adını alır.

Açık önerme gerçek anlamda bir önerme değildir. Neden?

Çünkü bir doğruluk değeri yoktur. Önermenin tanımını hatırlayın: Yargı bildiren ve bir doğruluk değerine sahip olan cümlelerdir. Ancak Açık Önerme, bir doğruluk değerine henüz sahip değildir; ancak özelleme dediğimiz işlemden sonra (kapalı) önermeye dönüşür.

Özelleme

Açık Önermeler özelleme yoluyla kapalı önermeye dönüştürülür.

Özelleme: Açık önermedeki X’in yerine verilen evrendeki (kümedeki) varlıkların (veya değerlerin) konulmasıdır.

Bir açık önermeyi kapalı önerme haline getirmek için kullandığımız (kullanabileceğimiz) tüm değerler kümesine evren denir. Özelleme, bu evrendeki bir ögenin değişkenin yerine konulması yoluyla yapılır.

Şimdi: Açık önermeler henüz bir doğruluk değeri bulunmayan, dolayısıyla sözde önermeler olduğuna göre; açık önermeyi özelleme yoluyla gerçek anlamda bir (kapalı) önerme haline getireceğiz. Sonuçta bir doğruluk değeri kazanacak. Bu da önermenin tikel veya tümel olmasına göre değişir. Görelim:

Tümel önermenin özellemesinin doğruluk şartı:

Bir tümel niceleme önermesinin doğru olabilmesi için, verilen evrendeki tüm elemanlar tarafından doğrulanmış olması gerekir.

Örnek:

“Tüm x’ler bitkidir.”  (∀xFx)

E= {Papatya, Gül, Menekşe} evrenindeki tüm elemanlar tarafından doğrulanır. (∀xFx) önermesi bu evrende(kümede) doğrudur.

E= {Papatya, Gül, Bardak} evreninde yanlıştır.

Sembolik gösterimi ve açılımı:

(∀xFx)

∀x(FaΛFbΛFc)

Tikel önermenin özellemesinin doğruluk şartı:

Bir tikel niceleme önermesinin doğru olabilmesi için, verilen evrendeki en az bir eleman tarafından doğrulanmış olması gerekir.

Örnek:

“Bazı x’ler bitkidir.”  (∃xFx)

E= {Demir, Bardak, Tuğçe} evrenindeki hiçbir eleman tarafından doğrulanmadığı için (∃xFx) önermesi bu evrende yanlıştır.

Örnek:

E= {Papatya, Kanepe, Izgara} evreninde doğrudur, çünkü bitki olan en az bir elemanı (papatya) vardır.

Sembolik gösterimi ve açılımı:

(∃xFx) özellemesi: ∃x(FaVFbVFc)

Yüklemler Mantığında Eşdeğerlik Kuralları

Niceleyici Değilleme Kuralları

–  Tümel Niceleyicinin Değillemesi

~ ∀x Fx ≡ ∃x ~ Fx

~ ∀x ~ Fx ≡ ∃x Fx

–  Tikel Niceleyicinin Değillemesi

~ ∃x Fx ≡ ∀x ~ Fx

~ ∃x ~Fx ≡ ∀x Fx

Açık Lise sınavlarına hazırlanmanın en kolay hali: AçıkTercih AÖL Test Çöz!

Mobil Uygulamamızı İNDİRİN! AÖL Yeni Müfredat Çıkmış Sınav Sorularını Çözün!